Une entreprise utilise un processus chimique pour produire un composé nécessaire à ses opérations. La quantité de composé produite $Q(t)$ est modélisée par l'équation suivante : $$Q(t) = a \ln(t + 1) + b$$ où $t$ représente le temps en heures, $a$ et $ b $ sont des constantes positives.

1. Déterminer les limites de $Q$ en 0 et en $+\infty$ dans le cas où $a=2$ et $b=5$.
2. Si $ a = 2 $ et $ b = 5 $, déterminez la quantité de composé produite après $ 3 $ heures.
3. Calculez la dérivée de la fonction $ Q(t) $ par rapport à $ t $.
4. Etablir le tableau de variation de $Q$ sur $[0;+\infty[$
5. La variation instantannée de la production correspond à $Q'(t)$. Si la variation instantanée de la production est de $ 2 $ unités par heure au temps $ t = 5 $ heures, déterminez la valeur de $ a $.
6. Utilisez l'intégration pour déterminer la quantité totale de composé produite de $ t = 0 $ à $ t = 6 $ heures lorsque $ a = 2 $ et $ b = 5 $.
7. 1. On sait que la quantité de composé chimique à l'intant 0 est de 4. Déterminer b
   2. On sait que la quantité de totale produite au bout 10h est de 15. Déterminer $a$.